Le classement Elo est un système d’évaluation du niveau de capacités relatif d’un joueur d’échecs ou d’autres jeux à deux joueurs. Il doit son nom à Arpad Elo (1903-1992), un professeur de physique et excellent joueur d’échecs américain d’origine hongroise qui l’a mis au point. Plus généralement, il peut servir à comparer deux joueurs d’une partie, et est utilisé par de nombreux jeux en ligne. World Of Wacraft l’utilise notamment pour les cotes en arène et Mark Zuckerberg a utilisé cet algorithme pour établir un classement des filles d’Harvard (si vous avez vu The Social Network). C’est un algorithme très répandu, très utilisé et il est relativement facile à mettre en place.

Je vais vous détailler son fonctionnement mathématique puis vous expliquer comment l’implanter en PHP.

Elo, côté mathématique

Il existe plusieurs variantes du classement Elo, je vais vous en détailler une que j’ai choisi arbitrairement (il ressemble au modèle de World Of Warcraft). Vous pourrez l’adapter facilement.

Le classement Elo est un classements par points. Au début, chaque joueur commence avec 1500 points (on dit aussi une cote de 1500 ou un rang). Ce rang va évoluer selon les résultats des matchs du joueur. Schématiquement, le rang du joueur augmente quand il remporte un match et diminue lorsqu’il perd. L’augmentation ou la diminution du rang ne sera pas la même selon la difficulté du match.

Après chaque match on recalcule son rang selon la formule suivante :

Résultat indique le résultat du match opposant le joueur P1 au joueur P2 :

K est un paramètre permettant de régler la vitesse d’augmentation ou de diminution du rang du joueur. Dans mon modèle, j’ai choisi une ascension rapide en dessous de 1000, normale entre 1000 et 2000 et diminuée au-dessus de 2000. Vous pouvez tout à fait modifier comme vous voulez ce paramètre K en introduisant une constante ou en changeant la valeur de K selon l’intervalle que vous définissez.

J’utilise les valeurs de K suivantes :

Enfin on calcule la probabilité de gagner du joueur P1 contre le joueur P2 avec la formule suivante :

Rien de très compliqué ! A noter que j’ai utilisé l’excellent éditeur de texte LyX (www.lyx.org), version Linux qui se base sur le LaTeX pour créer les images des formules mathématiques.

Exemple

Dans cet exemple le paramètre est fixé tel que K = 16. Soit deux joueurs, Anne de rang 2300 et Michel de rang 1800. Calculons l’estimation de chaque joueur puis son nouveau rang en cas de victoire ou de défaite.

Lorsque Anne gagne, le classement des joueurs ne change pratiquement pas vu que le résultat corrobore le classement établi. Dans le cas où Michel gagne, le classement des joueurs change de façon significative car le résultat ne correspond pas au classement établi.

Elo, côté PHP

Après avoir vu comment se comportait le classement Elo de manière mathématique, il est temps de le transformer en code PHP pour pouvoir l’utiliser.

Je vous fourni une version beaucoup commentée et affichant des statistiques volontairement pour bien comprendre le fonctionnement de l’algorithme. Dans une version de production, le code source peut (et doit) être beaucoup plus court. La seule chose à changer pour tester est la valeur des cotes des joueurs P1 et P2 et le résultat du match les opposant.

Au final on obtient quelque chose de ce style quand on exécute le script :

J’espère que vous vous amuserez bien avec ceci ! Il y a de beaux projets à réaliser.